一般61問5

問題文：一般61問5

雲の中の水滴の併合過程による成長について述べた次の文章の空欄（a）～（c）に入る数式と語句の組み合わせとして正しいものを、下記の①～⑤の中から1つ選べ。ただし、水滴はすべて球体であり、小さな水滴の落下速度は0（ゼロ）とする。

図のように、質量mの小さな水滴が単位体積当たりの数密度nで一様に分布している雲の中を、小さな水滴よりも十分に大きい半径 Rの水滴が鉛直下向きに速さ Wで落下している。

大きな水滴が、通過する空間内のすべての小さな水滴を併合するとしたとき、大きな水滴の質量の単位時間あたりの増加量は（a）である。

質量の増加に伴い、大きな水滴の半径が表面全体（表面積 4πR²）で一様に増加するとすれば、単位時間の半径の増加量は（b） に比例する。

このとき、Wが R^1/2に比例するとすれば、水滴が大きくなるとともに単位時間の半径の増加量は（c） なる。

答え

（a）質量の増加量

小さな水滴は、「静止している」という意味です。

なんだか沢山アルファベットが出てきて頭がパンクしそうなので、適当に単位をつけて頭を整理します。

小さな水滴の質量：m（g）
小さな水滴の数密度：n（個/m³）

大きな水滴の半径：R（m）
大きな水滴の落下速度：W（m/s）

↑単位はわかりやすく単純に決めただけなので、ツッコミは受け付けません。

それで、です・・・

大きな水滴の質量の、単位時間あたり増加量を考えます。

大きな水滴が単位時間あたり（例えば1秒）に落下する高さ（距離）はW（m）です。

底面の面積「$πR$²」で高さ「$W$」の円柱の体積は、「$πR$²$W$」。

この円柱の中にある小さな水滴は「$n×πR$²$W$ 個」。

これらの小さな水滴全部の質量は「$m×n×πR$²$W$ 」。

単位を整えると納得できるね。↓

つまり、大きな水滴の、単位時間あたりの質量の増加量は（a）「$πmnR$²$W$ 」。

はれの

解答は③④⑤に絞られました。

（b）半径の増加量

大きな水滴の表面積が 4$πR$²　で、この表面積が一様に増加する場合
単位時間あたりに、どれくらい半径が増加するか（ $ΔR$ ）を問われています。

大きな水滴の密度を $\rho$ とすると、

• 左辺（1秒間に増える質量）：表面積 × 半径の増加量 $\Delta R$ × 密度 $\rho$
  $4\pi R^2 \times \Delta R \times \rho$
  （薄っぺらいシートとして考えるので、単純に「底面 × 高さ × 密度」とします。）
• 右辺（1秒間に取り込む質量）：（a）の答え
  $\pi m n R^2 W$

これらをイコールで結ぶと、 $R^2$ がきれいに消えて、半径の増加量（$\Delta R$）が $W$に比例する式が残ります。

$4 \Delta R \rho = m n W \quad \rightarrow \quad \Delta R = \left(\frac{mn}{4\rho}\right) W$

はれの

こんな感じで選択肢「W/R」，「W」，「WR」の中で当てはまるのは「W」なので

答えは④。

これで、単位時間の半径の増加量 $\Delta R$ は、 $W$ （落下速度）に比例することがわかりました。

（c）水滴の大きさと半径の増加量

「水滴が大きくなるとともに単位時間あたりの半径の増加量は（c）なる」という部分は、「水滴の半径 $R$ が大きくなるにつれて、半径が大きくなるスピード（成長速度）が加速していくか、それとも減速していくか」を尋ねています。

結論から言うと、答えは「大きく」になります。

(b)までで、単位時間あたりの半径の増加量（成長速度）は、落下の速さ $W$ に比例することが分かっています。

$\text{半径の増加量} \propto W$

※「比例を表す記号（$\propto$）」の読み方は、一般的に「比例（ひれい）」や「プロポーショナル」と読みます。（覚えなくていいです。）

ここで、問題文にある「$W$ が $R^{1/2}$ に比例する」という条件をあてはめます。

1. 数式での関係
   • $W \propto R^{1/2}$（つまり $W \propto \sqrt{R}$）なので、半径の増加量も $\sqrt{R}$に比例します。
     $\text{半径の増加量} \propto \sqrt{R}$
2. 水滴が大きくなるとどうなるか？
   • 「水滴が大きくなる」とは、半径 $R$ の値が大きくなるということです。
   • $R$ が大きくなれば、そのルートである $\sqrt{R}$ の値も当然大きくなります。

半径の増加量（ $ΔR$ ）は、落下速度（ $W$ ）に比例する。
そして落下速度（ $W$ ）は、$\sqrt{R}$に比例する。
・・・ということは、半径の増加量（ $ΔR$ ）は$\sqrt{R}$に比例する。

したがって、水滴が大きくなる（$\sqrt{R}$が増える）とともに、単位時間あたりの半径の増加量（ $ΔR$ ）は「大きく」なります。

🌍 物理的なイメージ

水滴が大きくなると重くなって落下速度 $W$ が上がります。スピードが上がると、単位時間あたりに衝突・併合できる小さな水滴の数がさらに増えるため、「大きくなればなるほど、さらに急速に成長できるようになる（雪だるま式に成長が加速する）」という現象を意味しています。

2026年7月25日 7月26日の個人授業